Empuxo - O que acontece com o nível da água?

Ela possibilitou algumas discussões interessantes, o que me deixou satisfeito porque acredito que este tipo de postura contribua para o crescimento intelectual e isto vai muito além da preparação para o vestibular.

Alguns responderam corretamente, inclusive dando boas justificativas para o fato. Outros foram levados ao engano pela intuição – o que é perfeitamente normal – não significando que isto deva se perpetuar. Há quem respondeu que não vai acontecer nada com o nível da água – afinal de contas, o que é um machado comparado ao volume de um lago. É claro que na prática, caso haja alteração do nível da água, isto vai ser imperceptível. Mas o objetivo da questão não é avaliar com que precisão o nível aumenta ou diminui – mas usar uma situação prática para fazer uma análise conceitual.

E então, professor, qual a resposta correta, alguém deve estar pensado. Vamos lá!

Antes do barco ser colocado na água, a superfície estava em um nível. Quando colocamos o barco, o que acontece com este nível, admitindo-se que não haja transbordamento? Ele aumenta, não é mesmo? Vamos achar uma expressão que nos permita avaliar este aumento. Como o barco está flutuando e em repouso, juntamente com as águas do lago, há duas forças que agem sobre ele e que se anulam – o peso e o empuxo. Para isto, elas devem ter o mesmo valor. Assim, podemos escrever P = E -> (M + m)g = ρVg, onde M é a massa do barco e dos personagens; m é a massa do machado; g é aceleração da gravidade; ρ é a densidade da água e V é o volume imerso. Isolando V e simplificando, ficamos com V = (M + m)/ρ. Vamos admitir que V = Ah, onde A é a área da base e h é o quanto o nível da água subiu com a introdução do barco. Por isto, h = (M + m)/ρA.

Quando Tupi joga o machado, o que acontece com este novo nível da água? Olhe para a expressão obtida e veja que a altura do nível da água em relação ao nível original (sem o barco) é diretamente proporcional à massa do conjunto e como esta diminuiu, então o nível desceu. Podemos conferir isto do seguinte modo: h’ = M/ρA, onde h’ é o novo nível e, de fato, h'<h.

Também podemos calcular o quanto o nível da água desceu (Δh). É só fazer o quê? Subtrair h’ de h, não é? Assim, Δh = h – h’ = (M + m)/ρA – M/ρA = m/ρA.

Quando o machado cai na água e afunda, o nível da água volta a aumentar, certo?!. Mas quanto? Para finalmente decidirmos se o último nível é maior, menor ou igual ao primeiro, basta compararmos o aumento de nível provocado pela machado, que vamos chamar de Δh’, com Δh, ok?! Se Δh’ = Δh, então a diminuição de nível provocado pela saída do machado do barco é igual ao aumento de nível provocado por ele afundar na água e, deste modo, o nível final fica igual ao inicial, antes do machado ser jogado. Se Δh’ < Δh, então a diminuição de nível provocado pela saída do machado do barco é maior que o aumento de nível provocado por ele afundar na água e, deste modo, o nível desce. E, finalmente, se Δh’ > Δh, então a diminuição de nível provocado pela saída do machado do barco é menor do que o aumento de nível provocado por ele afundar na água e, deste modo, o nível sobe.

Depois de estabilizados (água e machado), o machado vai se apoiar no fundo do lago. Por isto, o empuxo sobre ele será menor do que seu peso (já que na vertical para cima também haverá a força normal). Podemos escrever E’ < P‘, onde E’ é o empuxo sobre o machado e P’, seu peso, temosρAΔh’g < mg -> Δh’ < m/ρA e, portanto, Δh’ < Δh. O nível desce!

Abraço a todos,

Prof. Douglas Almeida

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